～レオンハルト・オイラーより～その1
スイス、バーゼル生まれのレオンハルト・オイラー（1707～1783）は、生涯で人類史上最多と言われる886編の論文を書いた天才中の天才と呼ばれる数学者だ。
オイラーは、1748年、世界で一番美しい数式と言われる「オイラーの公式」を発表し、1752年、二番目に美しい等式と呼ばれる「オイラーの多面体定理」を著した。「オイラーの多面体定理」は、高校1年生が数Ａで学ぶ内容なので先に説明したい。多面体定理は、全ての凸多面体において成り立つ「v-e+f=2」という単純明快な等式だ。（ｖは頂点vertex、eは辺edge、fは面faceの各数）特に、入試で時々出題される正多面体については、正十二面体と正二十面体が複雑で、苦手にする受験生も多いので、2017年聖マリアンナ医科大の歴史的良問を例に取って、正多面体の本質に迫りたい。「各面が正n角形の正多面体において、一つの頂点に集まる面の数をmとする。このとき不等式（n－2）（m－2）＜aを満たす。aとm,nを求めよ。」丁寧な不等式のヒント付きだが、たとえ医大受験生といえど、青ざめた者も多いであろう。
「解答例」 正n角形とあるので、nは3以上の自然数、mは1点に集まる面の数なので、3以上の自然数（2面では、交線しか出来ず頂点を作れない）・・・①正n角形の一つの内角の大きさは180°×（n-2）÷nよりm個の面が集まっているので、180°×（n-2）÷n×m＜360°（頂点が360°以上になると凸多面体の頂点になり得ない） この不等式を整理すると（n-2）（m-2）＜4が得られ、これより（n-2、m-2）の組は、①より（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（3，1）のみで、求める（n、ｍ）の組は（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，3）、（5，3）でa＝4である。
入試問題はここまでだが、上の結果より、正多面体を作る正多角形は正三角形、正方形、正五角形の3種のみである事が示された。更に、最後の答えn＝5，m＝3の時を考える。各面が正五角形で、一つの頂点に集まる面の数が3の時 、v＝f×5÷3，e=f×5÷2なので、（例えば辺の数eは、正五角形なのでf×5個有るが、各辺重複しているのでf×5÷2となる）これらをv-e+ｆ＝2に代入すると f＝12が得られ、これが正12面体となる。以下同様に正多面体は、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種しか存在しないことが示される。（以下その2に続く）